Klasik Mekanik, Kuantum Mekaniği ve Kuantum Mekaniği'nin Matematiği

Klasik mekanik,
nesnelerin konum ve momentumları bilgilerini kullanarak, çeşitli kuvvet
alanları altında nasıl hareket etmeleri gerektiğini bulmaya çalışır.
Kökleri çok eskiye dayansa da başlangıcının Newton'un
Principia'sı olduğunu kabul etmek yanlış olmaz. Daha sonra Euler,
Lagrange, Jacobi, Hamilton, Poisson, Maxwell, Boltzman (İstatiksel
mekanik ve klasik elektromanyetik teoriyi de klasik mekaniğe katıyorum)
gibi birçok ad tarafıdan çok çeşitli bakış açıları geliştirilmiş ve
birçok alanda başarılı bir şekilde uygulanmıştır. Klasik mekaniğin
tamamlanmasını Einstein'ın görelilik kuramları ile gerçekleştiğini
söylemek yanlış olur. Klasik mekanik çok başarılı olmasına karşın,
1800'lü yılların sonlarına doğru, siyah cisim ışıması, tayf çizgileri,
fotoelelektrik etki gibi bir takım olayları açıklama da yetersiz
kalmıştır. Açıklamaların yanlışlığı bilim adamlarının yetersizliğinden
değil aksine klasik mekaniğin yetersizliğinden kaynaklanıyordu. Klasik
mekanikteki sorunun ne olduğunu anlatmak aşırı teknik kaçacaktır, ancak
en yalın halde klasik mekanik evreni sürekli olarak modelliyordu. Bu
modelleme yanlıştı çünkü üç konum ve üç momentumla tanımlanan
parçacıklar, sonsuz sayıda paramtreyle tanımlanmanan alanlarla bir
aradaydılar. Eş dağılım("equipartition theorem") kuramınca sistemin
enerjisinin denge durumunda sistem bileşenlerine eş biçimde dağılması
gerekir. Alanlar sonsuz bileşene sahip olduğundan bütün enerji alanlara
kalır. (Daha teknik daha doğru ifade, sistemin bütün özgürlük
derecelerine eş olarak dağılır, alanlar sonsuz özgürülük derecesine
sahip olduğu için bütün enerji alanlara akar.)
Kuantum kuramı ise olayı bambaşka bir şekilde ele alır. Parçacıklar
artık doğrudan 3 konum ve 3 momentumla tanımlanmak yerine bir "dalga
fonksiyonu" ile tanımlanırlar. Bu dalga fonksiyonu parçacığın bütün
bilgisini içinde barındırır ve dalga fonksiyonuna uygun "sorular"
sorularak gerekli bilgi alınır. Örneğin konum bilgisi için dalga
fonksiyonuna "parçacık nerede?" sorusunu sorarsınız, o ise size
parçacığın nerede soruyu sorduğunuz anda nerede olabileceğini
söyler.Matematik altyapısı yetersiz olanlar denklemleri görmezden
gelebilirler. Matematiksel olarak olayı şöyle tanımlayabiliriz;
Ψ(x,t) parçacığı tanımlayan dalga fonksiyonumuz olsun,

integrali bize x'in beklenen değerini verir. Yukarıda bahsettiğim soru
sorma işlemi tam olarak böyle yapılır. Benzer şekilde momentumun
beklenen değeri için;

şeklinde soruyu sorarız. Ψ ^* (x,t)
dalga fonksiyonumuzun karmaşık eşleniğidir. Karmaşık eşlenik ve dalga
fonksiyonu arasında kalan ifadeler gözlemlenebilirlerimizin, yani konum
ve momentumun, konum uzayındaki operatörleridir. Operatörler sorunun ta
kendisidir.
Konum ve momentum dışında daha birçok gözlemlenebilir ile işlem
yapılabilir. Ancak konum ve momentum operatörleri kullanılarak diğer
birçok operatörü elde etmek mümkündür. İşin ilginç yanı bu operatörle
elde etmek için klasik formüller kullanılır. Örneğin kinetik enerji
klasik mekanikte;

şeklinde tanımlanırken kuantum fiziğinde kinetik enerji operatörü yine
aynı ifadeyle yazılır. Tek fark "p" artık bir sayı değil bir
operatördür. Bu bize Ehrenfest teorimince sağlanır ve bütün
operatörleri klasik yasaları kullanarak türetebiliriz. Bu noktada
"Peki, dalga fonksiyonu da neyin nesi?" sorusunu duyar gibiyim. Dalga
fonksiyonu bize Schrödinger denklemi tarafından verilen, bir bakıma
parçacığın kimlik kartıdır.Bir boyutta Schrödinger denklemi;

şeklinde yazılabilir. İfade bir bakıma enerji denklemidir ve
bahsettiğim "kimlik" kartını sistemin enerjisine göre verir. (Burada
kimlikten kastım parçacığın elektron mu yoksa nötron mu olduğu değil,
momentumu, konumu, kinetik enerjisi gibi gözlemlenebilirleri.) Bu
"masum" denklem çözüldüğünde parçacığımızın dalga fonksiyonunu elde
etmiş oluruz. Sizi temin ederim en basit atom olan hidrojen atomunun
zamandan bağımsız analitik olarak çözülmesi bile gerçekten büyük bir
mesele, neyseki belli formalizmlerle, olayları yaklaşımlar yaparak
çözmek mümkün oluyor.
Kuantum mekaniğinin temelinde bir olasılık teorisidir. Dalga
fonksiyonu içinde sistemin bütün olası durumlarını barındırır. Siz
soruyu sorduğunuzda size en olası cevabı verir, ancak soru sorma işlemi
dalga fonksiyonunu "dağıtır" ve siz bir daha sorduğunuz zaman artık
başka bir cevap alırsınız. Bunun yanı sıra kuantum mekaniği yapısı
ötürü belirsizlikler barındırır. Bu belirsizlikler bir gözlemlenebiliri
ne kadar iyi bilirseniz diğeri hakkında o kadar az şey bileceğinizi
söyler. Örneğin konum ve momentum böyle bir çift oluşturur. birini ne
kadar iyi bilirseniz diğeri hakkında o kadar az bilginiz olur. Bu
Heisenberg belirsizlik ilkesi olarak bilinir. Konum ve momentum için
Heisenberg belirsizlik ilkesi şöyle gösterilir;

Bu ifade de σ_x ve σ_p ile verilenler sırasıylayla konum ve momentumdaki belirsizliklerdir.
Yukarıda ele alıdığım kuantum mekaniği, öklidyen bir uzayda
çalışılmış kuantum mekaniğidir, diğer bir deyişle göreceli değildir.
Einstein'ın özel görelilik kuramına uyan bir kuantum mekaniği türetmek
mümkündür. Hatta ilk bakışta kolay bir uğraştır. Kuantum fikrine ve
özel göreliliğe biraz aşina olan biri bile çözüme kolayca ulaşır.
Yukarıda değindiğim Schrödinger denklemini daha sade bir formda şöyle
ele alabiliriz;

Burada H olarak verilen Hamiltonian operatörüdür. (Korkmayın, toplam
enerji olarak düşünebilirsiniz.) Relativistik olmayan serbest parçacık
(potansiyel enerji sıfır) için Hamiltonian;

olarak verilir. Relativisitk serbest parçacık içinse Hamiltonian;

şeklinde yazılabilir. İfade pek yabancı değil, değil mi? Hayır, dalga
geçmiyoum, olaya klasik mekanik açısından bakarsanız, parçacığın
durduğunu kabul edelim, momentum sıfır olacak ve ünlü E = mc² 'yi elde etmiş olacaksınız. Şimdi relativistik Hamiltonianla Schrödinger denklemini yeniden yazalım;
Karesini alırsak

elde ederiz. Bu denklem Klein-Gordon denklemi olarak bilinir. Ancak
denklem bir takım teknik nedenden ötürü sorunludur. Daha geçerli
relativistik çözüm Dirac
tarafından keşfedilmiştir ve kendi adıyla anılan denklemle
verilir.Ultramikroskobik boyutlarda (PLANCK UZUNLUĞU)uzayın küçük dalga
boylarında bir kaos olduğu düşünülür.Evrenin milyarda birinin milyarda
birinin milyonda biri boyutlarda gözleyecek olursunuz Evren bir kaos
olarak görünür.


Kuantum mekaniği tarihi gelişimi boyunca birçok sınavdan alnının
akıyla çıkmayı başarmıştır. Olguları büyük bir doğrulukla açıklaması,
yeni olgulara ışık tutması bir teoriden beklenen özelliklerdir ve
kuantum mekaniği bu işi gerçekten oldukça iyi başarmıştır. Kuantum
fikirleri üzerine gelişen kuantum elektrodinamiği (QED) ve kuantum renk
dinamiği (QCD) bu güne kadarki hiç bir teorinin ulaşamdığı
hassasiyetlerde sonuçlar vermişlerdir. Ne varki geçtiğimiz yüzyılın çok
büyük iki teorik açılımı bir biriyle uyuşmamaktadır. Doğada bilinen 4
kuvvetten 3'ü, elektromanyetizma,zayıf ve güçlü kuvvetler,kuantum
kuramlarıyla ele alınabilirken kütle çekimin henüz tutarlı bir kuantum
kuramı bulunamamıştır. Her ne kadar sicim kuramları kuantum kütle
çekime aday gibi görünsede çözülmesi gereken çok büyük sorunlar halen
daha bulunmaktadır. Günümüzde yaygın kanı kuantum ve kütle çekimin
üstünde, doğrusal olmayan daha genel bir kuramın yer aldığıdır.